By Johanna Heitzer
Das Buch macht am Beispiel der Bestimmung guter Näherungen durch Entwicklung über Orthogonalbasen deutlich, wie universell und erfolgreich der Blick auf grundlegende Strukturen in der Mathematik sein kann: Dieselbe Theorie, die im dreidimensionalen Raum Abstände berechnen hilft, steckt hinter modernen Formen der Signalverarbeitung (z. B. JPEG- und MP3-Format). Dies ist hier motivierend und verständlich dargestellt: Auf den fachlichen Hintergrund und eine gründliche didaktische examine folgen konkrete Vorschläge für die Umsetzung im Unterricht. Alle Materialien wurden in Schülerworkshops erprobt und evaluiert – mit viel Eigentätigkeit consistent with Papier, Bleistift und machine sowie mit passenden Experimenten zur Bild- und Tonverarbeitung.
Read Online or Download Orthogonalität und Approximation: Vom Lotfällen bis zum JPEG-Format Von der Schulmathematik zu modernen Anwendungen PDF
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Die einfachsten und in der Schule bekanntesten Beispiele sind die Abstands- und Lotfußpunktberechnungen im R2 und R3 , sofern diese sich auf Ursprungsgeraden und -ebenen beziehen oder korrekt auf solche übertragen werden. Diese werden aber in aller Regel als Schnittprobleme und damit über das Lösen linearer Gleichungssysteme gelöst; und tatsächlich lohnt sich der Wechsel auf eine Orthogonalbasis bei zwei oder drei Dimensionen noch nicht wirklich. Hier aber können und sollten die ersten Beispiele vorgerechnet, die Lösungsmethoden verglichen und vor allem die wichtigen Zusammenhänge unter Zuhilfenahme der Anschauung verankert werden.
5 erläutert wird, der Umweg über die Orthonormalbasis durchaus lohnen. 8 Wesentliche Beispielklassen In diesem Abschnitt soll ein Überblick über die im Rahmen der Arbeit aufgegriffenen Beispiele erfolgreicher Anwendungen des Verfahrens gegeben werden. Allesamt erfüllen die Bedingungen, dass in euklidischen Vektorräumen operiert werden kann und die euklidische Norm als Qualitätsmaß geeignet ist. Demnach kann das Verfahren der Bestimmung guter (bester) Approximationen durch Entwicklung über Orthonormalbasen angewendet werden.
Ihr Schnittpunkt mit g ist der Lotfußpunkt L. Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras für jeden Punkt G ∈ g mit G = L: |GP|2 = |GL|2 + |LP|2 > |LP|2 8 (Das haben sie in der Zeichnung aus Symmetriegründen. ) 9 Im Symmetriefall ist das Parallelogramm eine Raute. 2 Geometrie im R2 und R3 42 Demnach liegt der Lotfußpunkt L von allen Punkten der Geraden am nächsten an P und stimmt mit dem gesuchten Punkt Pg überein. 5 Darstellung mittels Vektorgeometrie In diesem Abschnitt werden die für unsere Zwecke wichtigsten Erkenntnisse über metrische, euklidische Geometrie (vgl.