By Lutz v. Wangenheim
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Ernst Ludwig Ehrlich (1921 2007), der bekannte Judaist und Historiker, begann seine akademische Laufbahn 1940 an der Berliner Hochschule für die Wissenschaft des Judentums. Im Jahr 1943 gelang ihm die Flucht aus dem nationalsozialistischen Deutschland in die Schweiz. Als Wissenschaftler wirkte er an den Universitäten von Zürich, Basel, Bern, Frankfurt a.
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16) in Abhängigkeit von der Frequenz dargestellt – und zwar jeweils für W = 1 μs. Die Phasenfunktion für das Verzögerungsglied wird aus der Übertragungsfunktion, Gl. 14), ermittelt: § Im e jZW · ¸ jZW ¸ ¨ Re e ¸ © ¹ M (Z ) arctan ¨¨ ZW (mit M in rad/s). 15 100 200 300 Frequenz/kHz Phasenfunktionen für ideales Verzögerungsglied (W =1 Ps) und Allpass ersten Grades Vor dem Hintergrund der in Abschn. 7 angesprochenen Polverteilung von Allpassgliedern und anderen Elementen mit Laufzeiteffekten ist deshalb bei der Anwendung des vereinfachten Stabilitätskriteriums im Bode-Diagramm die folgende Einschränkung zu beachten: Das vereinfachte Schnittpunkt-Kriterium aus Abschn.
Eine quantitative Aussage über die Größe der Stabilitätsreserve ist auf diese Weise natürlich nicht möglich. Den exakten Zusammenhang zwischen der frequenzbedingten Verstärkungsänderung – hier angewendet auf die Schleifenverstärkung L0(jZ) – und der zugehörigen Phasendrehung M0(Z) bei einer beliebigen Frequenz Z=Zx liefert die von H. W. Bode angegebene „VerstärkungsPhasen-Formel“, die eng verknüpft ist mit der Hilbert-Transformation (s. dazu Abschn. 18) lg L0 (jZ ) . Nach dieser Formel wird die Phasendrehung bei Z=Zx also bestimmt durch den geometrisch zu ermittelnden Anstieg der Verstärkungsfunktion, wobei sowohl die Verstärkung als auch die Frequenz im logarithmischen Maßstab anzusetzen sind.
Der Summe aus zwei gegenläufig mit der Winkelgeschwindigkeit Z rotierenden Zeigern (Phasoren). Zwar mag diese Visualisierung in manchen Fällen hilfreich sein, sie liefert aber noch keinen zwingenden Grund, über die Existenz negativer Frequenzen nachzudenken. 18 Gibt es negative Frequenzen? 39 Anders ist es jedoch, wenn die Euler-Gleichungen zwecks Berechnung der spektralen Eigenschaften periodischer Signale mit der Periode T in die Fourier-Reihendarstellung eingeführt werden. In vielen Fach- und Lehrbüchern wird ausschließlich diese kompakte Form der komplexen Fourier-Reihe benutzt: f f (t ) ¦ n f c n e jn 2ʌt T mit cn 1 T T ³ f (t )e - jn 2ʌt T dt .