By Wolfgang Nolting
Der beliebte Grundkurs Theoretische Physik deckt in sieben Banden alle fur das Diplom ma?geblichen Gebiete ab. Jeder Band vermittelt intestine durchdacht das im jeweiligen Semester notige theoretische-physikalische Rustzeug. Zahlreiche Ubungsaufgaben mit ausfuhrlichen Losungen dienen der Vertiefung des Stoffes.
Der erste Band behandelt die klassische Mechanik, wie sie im ersten Studiensemester vermittelt werden kann. Es wird lediglich die ubliche Schulmathematik vorausgesetzt. Weitergehende mathematischen Hilfsmittel werden zu Beginn eingefuhrt und ausfuhrlich erlautert.
Die vorliegende neue Auflage wurde grundlegend uberarbeitet und erganzt. Sie ermoglicht durch die neue zweifarbige Darstellung einen sehr ubersichtlichen und schnellen Zugriff auf den Lehrstoff.
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89) 36 1. Mathematische Vorbereitungen Wenn die Basisvektoren parameterunabhängig sind, können sie vor das Integral gezogen werden. Man integriert in diesem Fall also einen Vektor, indem man seine Komponenten integriert. Es sei jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass das so definierte Integral natürlich von der speziellen Parameterwahl abhängt, also keine echte Kurveneigenschaft darstellt. Wir werden im Laufe dieses Buches noch Integrale ganz anderer Art kennen lernen. 89) begnügen. Wir wollen uns ab jetzt auf die Raum- und Bahn-Kurven als Beispiele vektorwertiger Funktionen konzentrieren.
C) Multiplikation mit reellen Zahlen b = αa ; αa = α∈R, 3 αaj ej = j=1 3 bj ej , j=1 bj = αaj ; αa = αa1 , αa2 , αa3 . 60) Man multipliziert also einen Vektor mit einer reellen Zahl, indem man bei gleicher Basis jede Komponente mit dieser Zahl multipliziert. 61) aj bj . j=1 Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist also die Summe der Komponentenprodukte. 61) gilt: 3 (a · n) = aj nj = a cos (n, a) , j=1 n, ei . 24 1. 52) auch aj = a cos (a, ej ) sein muss. 62) n, ej . j=1 e) Vektorprodukt Wir betrachten zunächst die orthonormalen Basisvektoren, die ja nach Voraussetzung ein Rechtssystem darstellen: e1 × e2 = e3 ; e2 × e3 = e1 ; e3 × e1 = e2 .
1. Gehen Sie von e1 , e2 zu einer neuen Basis e1 , e2 über, d. h. zu neuen x- und y-Achsen, und zwar derart, dass die Darstellung der Bahnkurve besonders einfach wird. Wie lautet die Parameterdarstellung der Raumkurve im x, ySystem mit ωt als Parameter? 2. Welche geometrische Form hat die Raumkurve? 3. Bestimmen Sie die Winkel 4. 5. 6. ϕ(t) = e1 , r(t) , ψ(t) = e2 , r(t) . Berechnen Sie die Beträge von r(t), v(t) = ˙r (t), a(t) = ¨r(t). Welche Beziehung besteht zwischen |r(t)| und |a(t)|? d Berechnen Sie ˙r(t) = |r(t)|.