By Hermann Weyl
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer booklet information mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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4· Grundlagen der metrischen Geometrie. Um den Übergang von der affinen zur metrischen Geometrie zu bewerkstelligen, müssen wir noch einmal aus dem Born der Anschauung schöpfen. Ihr entnehmen wir (für den dreidimensionalen Raum) die Erklärung jener Größe, die man als das skalare Produkt zweier Vektoren· a und b bezeichnet. Nach Wahl eines bestimmten Einheitsvektors messen wir die Länge von a und die (mit dem richtigen Vorzeichen zu versehende) Länge der senkrechten Projektion von b auf a und multiplizieren diese beiden Maßzahlen miteinander.
Wir treffen jetzt und für alle Zukunft die Verabredung: wenn in einem mit Indizes behafteten Formelglied, das die Komponenten eines Tensors bedeutet, ein Index doppelt, oben und unten vorkommt, so ist stets gemeint, daß über ihn summiert werden soll, ohne daß wir es für nötig finden, ausdrücklich ein Summenzeichen davor zu setzen. Die Operationen der Addition, Multiplikation und Verjüngung setzen nur die affine Geometrie voraus; ihnen liegt kein »metrischer Fundamentaltensor• zugrunde. Dies ist allein für den Prozeß des Übergangs von kovarianten zu kontravarianten Komponenten und seine Umkehrung der Fall.
Aus zwei Vektoren mit den kontravarianten Komponenten ai, bi entsteht durch Multiplikation in der einen und andern Reihenfolge und nachfolgende Subtraktion ein schiefsymmetrischer Tensor 2. Stufe c mit den kontravarianten Komponenten cik = aibk _ akbi. In der gewöhnlichen Vektorrechnung tritt dieser Tensor auf als »vektorielles Produkt« der beiden Vektoren a und b. Zeichn~t man im dreidimensionalen Raum einen bestimmten Schraubungssinn aus, so ist es nämlich möglich, eine einfache umkehrbar-eindeutige Korrespondenz zwischen diesen Tensoren und den Vektoren herzustellen, die es gestattet, den Tensor c durch einen Vektor zu repräsentieren.