By Karl H. Borgwardt

Nahezu alle Lebensbereiche sind von dem Bestreben durchdrungen, bestmoglich zu handeln und zu entscheiden. Diese purpose lasst sich auch tibertragen aufdie Absicht, angestrebte Ziele oder Wirkungen mit geringstmoglichem Aufwand zu erreichen, additionally moglichst effektiv zu handeln. InjedemFall soll eine ZielgroJ3e sogut wie moglich gestaltet werden, wahrend bestimmte Nebenbedingungen einzuhalten sind. Der Mathematik und den Mathematikern gibt diese Erkenntnis die Anregung, tiber Optimierungsprobleme nachzudenken. Dabei ist die Grundlage eine quanti fizierende Modellierung der Entscheidungs- und Aktionsmoglichkeiten, die zur Verftigung stehen. In dieses Modell mtissen weiter die Auswirkungen der Ent scheidungen auf die ZielgroJ3e und auf die Einhaltung der Nebenbedingungen ein gehen. Auf diese Weise muss es rechnerisch moglich werden, jeweils den Wert der ZielgroJ3e zu messen und tiber die ZugehOrigkeit zum Bereich der zulassigen Losungsvorschlage zu entscheiden. 1st diese Modellierung gelungen, dann ist es ei ne weitere Aufgabe der Mathematik, Rechenverfahren zu entwickeln, die nun den besten der zulassigen Vorschlage ausfindig machen. Dabei steht zunachst einmal die Exaktheit der Losung im Vordergrund. Allerdings muss dieser Wunsch in vie len Bereichen abgewogen werden mit dem Ziel, in moglichst kurzer Rechenzeit ein Ergebnis zu erhalten. Viele Probleme konnten in endlicher Zeit erschOpfend behan delt werden, jedoch wtirde das oft einen nicht mehr vertretbaren Rechenaufwand auslosen. Deshalb befasst sich die Mathematik der Optimierung und des Opera tions learn auch mit der Komplexitat der auftretenden Probleme und der Zur Losung eingesetzten Algorithmen.

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2. 9. 3. 9 (3)). Somit kann es keinen weiteren Punkt geben, in dem sich alle Restriktionshyperebenen schneiden. 4. Seitenflachen von Polyedern 45 i= 0 und dim P < n. Dann ist AH(P) der Durchschnitt aller singularen Restriktionshyperebenen von P. 9 (3). 5 Sei P i= 0. Dann ist die Anzahl der Seitenfiachen der Dimension k unabhiingig vom Ungleichungssystem, das P beschreibt. Beweis: Eine SeitenfHiche liegt immer dann vor, wenn eine extremale Teilmenge auftritt, unabhangig von der Darstellung im Ungleichungssystem.

Setze y = Y3, dann ist _ATY = 0 und 7]2 + cTY = O. Das bedeutet aber cTy < 0, da ja hier 7]2 > O. 1. #- 0 lOsbar. 7 Gale: Losbarkeit eines Ungleichungssystems Entweder I oder II Ax::; c ATY = 0, cT Y < 0, Y ? ° ist lOsbar. Beweis: list aquivalent zur Existenz eines ~ > 0, so dass ~c - Ax ? Dies ist gleichbedeutend mit e~+l ( ~ ) ° ° eine Losung > und (-A c) ( ~ G) hat. ) ? 0. #- 0, Y3 ? ° = 0) {:} ATY3 = ° und Yl + cTY3 = 0 o Mit Y = Y3 ergibt sich Y ? 0. 8 Gale: Nichtnegative Losbarkeit eines Ungleichungssystems Entweder I oder II Ax::; c, x ?

Fall (i): A~ v ::; 0, damit ist ATv ::; 0, also das, was gebraucht wird. Fall (ii): A~v > 0 und (A. 1, ... n-1)Tv::; 0 sowie bTv > O. Bei dieser Situation definieren wir fUr i = 1, ... n - (A~v)b. ) Es konnen wieder zwei FaHe auftreten: 20 Kapite12. Lineare Ungleichungssysteme A. 2 zeigt, dass der Kegel ATz produkt auf b enthalt, also bT z > O. h. es gibt PI,··. ,Pn-l ~ 0 mit b = L~:/ PilL. n . Dies widerspricht dem A;;satz, denn~lle Koeffizienten sind nicht negativ. FoIgIich kann dieser Unterfall ausgeschiossen werden.

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