By Max Nedden
In vielen Lebensbereichen nutzen wir Modelle, um Vorgänge, die in ihrer Gänze nicht hinreichend erfassbar sind, auf einfachere Zusammenhänge zurückzuführen. Oft sind solche Modelle empirisch abgeleitet, d.h. sie verallgemeinern in einzelnen Beobachtungen gefundene Muster. Doch wie ähnlich muss ein unbekanntes Datum den zuvor gemachten Beobachtungen sein, damit die identifizierten Muster noch darauf übertragbar sind? was once bedeutet Ähnlichkeit in diesem Zusammenhang und wie ist sie mathematisch zu umschreiben? Welche Zusatzinformationen können die Belastbarkeit empirisch abgeleiteter Modelle charakterisieren? Am Beispiel der für die Theoretische Chemie bedeutenden Modellklasse der quantitativen Struktur-Wirkungs-Beziehungen (QSARs) entwickelt Max Nedden auf foundation nichtparametrischer Kerndichteschätzung universell einsetzbare Methoden, die eine Einschätzung der Vorhersagegüte empirisch abgeleiteter Modelle ermöglichen. Ausführliche Grundlagenkapitel zu den wahrscheinlichkeits- und graphentheoretischen Hintergründen sowie den relevanten Begrifflichkeiten der Chemie eröffnen nicht nur Mathematikern und Chemikern einen Zugang zu der behandelten Materie.
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Dann gilt: Ω = ℘(Ω) ⇔ {ω} ∈ ❙ Ω ∀ ω ∈ Ω. M. a. : Es gibt nur eine σ-Algebra über einer abzählbaren Menge Ω, die alle einelementigen Teilmengen von Ω enthält, nämlich die Potenzmenge ℘(Ω). Beweis: Da Ω nach Voraussetzung abzählbar ist, gelte o. B. d. A. Ω = N. 9. (ii) Sei M ∈ ℘(N) ⇒ M ⊆ N. Wegen der Abzählbarkeit von N, ist auch M abzählbar und es gilt M = ∞ ❙ mi mit mi ∈ {{ω}|ω ∈ N} ∪ ∅. Da nach ❙ σ-∪-Stabilität von ❙ folgt M ∈❙ . =⇒ ℘(N) ⊆❙ . (i) (ii) =⇒❙ = ℘(N). 4 (Erzeuger einer σ-Algebra) Sei Ω = ∅ eine Menge, M ⊆ ℘(Ω) und Dann ist ❙M ❙M ❙M := ∩ ❙.
3: Der Zusammenhang zwischen den Mengensystemen T ⊆ ℘(Ω). 26 Kapitel 2. 2 Offensichtlich ist • eine σ-Algebra stets auch eine Algebra, ein Dynkin-System, ein Ring und ein Halbring. • eine Algebra stets auch ein Ring und ein Halbring. • ein Ring stets auch ein Halbring. 3 Sei Ω eine abzählbare Menge und ❙ Ω ❙ eine σ-Algebra über Ω. Dann gilt: Ω = ℘(Ω) ⇔ {ω} ∈ ❙ Ω ∀ ω ∈ Ω. M. a. : Es gibt nur eine σ-Algebra über einer abzählbaren Menge Ω, die alle einelementigen Teilmengen von Ω enthält, nämlich die Potenzmenge ℘(Ω).
4. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie 27 Beweis: 1. ❙ Ω := ℘(Ω) ist eine σ-Algebra mit M ⊆ ❙ . 9 eine σ-Algebra, denn: (a) Ω ∈ ❙ Ω ∀ ❙ Ω mit ❙ Ω (b) Sei S ∈ ❙M . Dann gilt ∀ S∈ ❙ Ω ❙ ist σ-Algebra über Ω ⇒ Ω ∈ ∩ Ω. ❙Ω ist σ-Algebra über Ω M ⊆❙ Ω ❙ Ω mit ❙ und damit auch {Ω \ S} ∈ ist σ-Algebra über Ω, M ⊆ ❙. Ω Ω Dann gilt ∀ ❙ Ω Ω ❙ ∩ ⇒ {Ω \ S} ∈ Ω = ❙M . ❙Ω ist σ-Algebra über Ω M ⊆❙ Ω (c) Sei (Si )i∈N , Si ∈❙M ∀i ∈ N. Si ∈ ❙: ❙ Ω mit ❙ Ω ist σ-Algebra über Ω, M ⊆ ∀i ∈ N und damit auch S := ❙ ∞ i=1 Si ∈ ∩ ⇒S∈ Ω = ❙M .