By Klaus Jänich
Das Buch "Mathematik 1/Geschrieben f?r Physiker" zusammen mit dem im Fr?hjahr 2002 erschienen Band 2 verfolgt eine neuartige Strategie f?r die mathematische Ausbildung der Physikstudenten im ersten Studienjahr. Radikale "Rechtzeitigkeit" des Stoffes (Differentialgleichungen ab der zweiten Unterrichtswoche usw.) und physikbezogene neben rein mathematischen ?bungsaufgaben gehen Hand in Hand mit der Vermittlung des tieferen mathematischen Verst?ndnisses. Dieses ungew?hnliche Konzept erfordert viel erl?uternden textual content, wobei die aus anderen Lehrb?chern des Autors bekannte erkl?rende und ?berredende paintings zu schreiben voll zum Einsatz kommt. Viele Figuren veranschaulichen die Begriffe und Zusammenh?nge. Als vorlesungsbegleitendes Lehrbuch und auch zum Selbststudium bestens geeignet.
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Wohlbekannt ist Ihnen Beispiel 1: Für jedes n E N gilt BEWEIS: 1. denn d~x 1 Schritt: Jedenfalls ist die Formel für n = :fxx = 1 = 1 · x 0 • = 1 richtig, Annahme: Wir nehmen nun an, n sei eine jener natürlichen Zahlen, für welche die Formel :Jxxn = nxn-l gilt. 4 Erste Beispiele Zahlen? - Das wissen wir noch nicht, darüber schon etwas bewiesen zu haben behaupte ich doch auch gar nicht. - Na wenn schon. Darf ich deshalb nicht "eine jener Zahlen, für welche die Formel gilt" betrachten, es mag nun viele oder wenige solcher Zahlen geben?
Machen wir mit der Umkehrung der Exponentialfunktion, also dem Logarithmus den Anfang. Beispiel 4: Für alle x > 0 gilt d 1 -lnx = dx x 34 Kapitel 2: Die Ableitung Folgt aus der Umkehrregel oder aus e1nx KettenregeL BEWEIS: x und der D Damit können wir jetzt auch die allgemeinen Potenzen, Exponentialfunktionen und Logarithmen ableiten: Beispiel 5: Für a > 0 war ax := exlna definiert gewesen, also D nach der KettenregeL Beispiel 6: Für alle x > 0 und festes a E lR ist denn X0 = ealnx, also a alnx = -x a a -dxa = -e dx X X ' und das ist wirklich axa-l, denn auch für die allgemeinen Potenzen gelten die Potenzgesetze Hier auf ß = -1 anzuwenden.
2: a) Berechnen Sie die Umkehrfunktion Arsinh := (sinht 1 : lR--+ JR, indem Sie y = sinh(x) direkt nach x auflösen. b) Berechnen Sie die Ableitung von Arsinh auf zwei Weisen: 1. indem Sie die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion und 2. indem Sie das Ergebnis von a) verwenden. 3: In der statistischen Physik spielt die Fermi-Funktion f(x) = 1/(ex + 1) eine wichtige Rolle. Skizzieren Sie diese Funktion und ihre Ableitung im Intervall -2 < x < +2. Untersuchen Sie die Funktion f(ax) im gleichen Intervall für Werte von a»l.