By Dr. Erwin Madelung (auth.), Dr. Karl Boehle, Dr. Siegfried Flügge (eds.)
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Diese Berechnung hat aber nur untergeordnete Bedeutung gegenüber dem umgekehrten Problem, aus den gegebenen Differenzenquotienten die Differentialquotienten zu berechnen. Die Auflösung des linearen Gleichungssystems liefert: + n h) = d f (x + nh) = d d hdx f (x h2 bzw. 1 ßn- 6 r5n 2 X2 1 12 + 301 -Cn- · · · 1 90 ' ) ' n - - f n _j__ - ' Y l n - . . Madelung, Math. Hilfsmittel. 3· Auf!. ' 'I 2 Differential- und Integralrechnung. 18 Diese Formeln gestatten also die "numerische Dilferentiation" einer tabuliert vorliegenden Funktion.
Ist /x,. x,. (x) "=1 j 12 (t) t (t) x,. (t) dt mit G b,. = ! 12 (t) X~ (t) dt (6) n b) Approximation. I a11 q;11 (x) k=l liefern die Partialsummen F,. q;,. [Gl. (4)] für h= 1, ... , n gilt. c) Vollständigkeit. Ist das Orthogonalsystem q;1 (x), q; 2 (x), ... vollständig (vgl. I Ic,. i2. ) = (f. /) h=l (7) über. Allgemein gilt, wenn d,. die Entwicklungskoeffizienten von g(x) * sind, ~( c,. d1s) ~ 'P"· 'Ph = (/, g). 1a) f (x) Ferner läßt sich dann jedes der Bedingung A genügende (vgl. durch die Partialsummen Fn (x) im Mittel beliebig genau approximieren und kein solches I (x) ist zu allen q;,.
Im Grundgebiet - oo < x < + oo tritt an die Stelle der FouRIERReihe das FouRIERSehe Integral. der Funktion Existiert +co J II (t) Idt, -CD so läßt sich I (x) (zumindest formal) das FoURIER-Integral 28 Reihen und Reihenentwicklungen. +co . (t)e2nitxdt F (x) = (12) -ao -aJ +co mit a (t) = j I (u) cos 2n tu du, bzw. Ot (t) = JI (u) e-2nitu du +co b(t)=/l(u)sin2ntudu -co +co -co (13) (14) -co zuordnen. Für reelles I (x) gilt auch "' +<» Jdu-coj I (t) cos 2n u (t 0 F (x) = 2 x) dt. (15} Darstellung: Es gilt das in a) für die Reihe F (x) Gesagte.